“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个…”网友陈健聪**ile说。

…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…

…陈健聪**ile：见《欧几里得34》…

“…我们还是用前面的例子说明…”现代学者说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集…”

…前面的例子：指集合{1，2，3，4，5}…见《欧几里得34》…

“{1，2，3，4，5}这个集合的上界是：5，6，7，8…”现代学者接着说，“就是说，{1，2，3，4，5}有无数个上界…”

“{1，2，3，4，5}虽然有无数个上界，但是它的上确界只有一个，就是5…”现代学者继续说。

“‘一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个’…就是这个意思…”现代学者最后说。

“理解了‘上确界’，便能理解‘下确界’…”现代学者说。

…

“实数理论中，有一条叫‘确界原理’的公理…”陈健聪**ile说。

…原理：自然科学和社会科学中的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳而得出的。既能指导实践，又能经受住实践的检验…

“原理可以作为其他规律的基础…”现代百姓说，“从原理出发，可以推导出各种具体的定理、命题…”

…

“原理在公理体系中，叫‘公理’…”现代百姓最后说。

…公理：指人类认为的、不证自明的事实（如“两点之间直线【其实是“线段”】最短；牛顿三定律…”）；经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的命题…

（…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…）

…公理体系一般指公理系统…

…公理系统：公理和以公理为依据，用三段论的方法推出的定理、推论…共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）…

确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

确界原理的另一种表达：有上界的非空数集必存在上确界；有下界的非空数集必存在下确界。

…数集：数的集合…

…空集：空的集合（不含任何元素的集合）…

…非空集合：至少含有一个元素的集合…

…非空数集：至少含有一个数的数集…

…

“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”网友汇知园说。

…网友汇知园：见《欧几里得34》…

“虽然放在大学讲…其实，这些内容非常容易理解…只是大学很多教材写的不是很清楚…”汇知园接着说。

“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”

““而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园继续说。

…

请看下集《欧几里得37、微积分、极限理论、实数理论间的关系；早期微积分…》”（未完待续）