【戴德金分割】5

分割的3种可能…第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。

“平方等于2的数是分界点…”现代学者说。

“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数…”现代学者接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得23》中已做过详细叙述…”

“分割的第3种可能，可以简略的叙述为：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有＜√2的有理数，B是所有＞√2的有理数…”现代学者继续说。

【戴德金分割】6

根据大前提（见《欧几里得31》），集合A和集合B合并起来（简称“A和B的并集”）是所有有理数。（√2不是有理数。）

√2又是确确实实存在的一种数。

…

戴德金称第3种分割定义了一个无理数…或者简单的说这个分割就是一个无理数。

前面2种情况中（见《欧几里得32》），分割是有理数。

这样，所有可能的分割（既有有理数，又有无理数）构成了数轴上的每一个点…数轴上的点，统称实数。

“前提是实数和直线上的点有着一一对应关系…”戴德金说。

【戴德金分割】7

思考题：戴德金分割的第4种可能——A有最大元素a，B有最小元素b，例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。

…有没有这种可能？

思考题简略版：A有a（max），B有b（min），例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。

…有没有这种可能？

“这是不可能的，因为这样就会出现不存在于A、B两个集合中的有理数（例如上面例子中，1和1.1之间的有理数——1.01，1.001…），这与‘A和B的并集是所有有理数’矛盾…”现代学者说。

…前提：可以推出另一个判断的判断，如三段论中的大前提、小前提（见《欧几里得3》）…

【戴德金分割】8

“这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’…”现代学者说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数…”

“这样的话…这个分割…既不是有理数，又不是无理数…”现代学者接着说，“这种分割不是一个数…这种分割是一个单纯的分割——比如，我们把1，2，3，4，5分成{1，2，3}、{4，5}两个集合，就是这样的分割…”

“存在这样的戴德金分割吗？…其实，这样的戴德金分割是不存在滴…”现代学者继续说，“问题的关键点在于‘1.000…1’…”

“‘1.000…1’是什么？…根据大前提，它是有理数——即‘比1稍大的有理数’…可有理数是能准确写出来的数（如整数、分数）…”现代学者最后说，“我们无法准确写出‘比1稍大的有理数’…”

““需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”

请看下集《欧几里得34、不食人间烟火的数学家与直线思维的美…》”（未完待续）